△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么有
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
证法1：
如图△ABC中，设∠BAC > ∠B，∠BAC > ∠C，
作∠CAD=∠B，∠BAE=∠C，
其中，点E、D在边BC上，
过A作AF⊥BC于F
∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠BCA
∴△DAC∽△ABC
∴
同理
同理△EBA∽△ABC
即
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠C+∠B，∠AEC=∠BAE+∠B=∠C+∠B
∴π –∠ADB=π – ∠AEC=π – ( ∠C+∠B ) = ∠A
即∠ADE=∠AED=∠BAC
∴AE=AD
又∵AF⊥BC
∴F是ED的中点，即
同理，另外两边也成立，对于∠BAC∈( 0 ，π )皆成立，证毕。
证法2：
过△ABC顶点分别向对边作垂线，
垂足分别为D、E、F，设垂心为H
在△ABC中
∵∠HDC=∠BFC=Rt∠
∠HCD=∠BCF
∴△CHD∽△CBF
HC·CF=CD·BC
同理HC·CF=CE·AC
即CD·BC=CE·AC
同理BD·BC=BF·BA
即CD·BC + BD·BC= CE·AC + BF·BA
BC2 = CE·AC + BF·BA
BC2 = (AC – AE) · AC + (AB – AF)·BA
BC2 = AC2 – AE · AC + AB2 – AF·AB
∵CF⊥AB，BE⊥AC
∴BC2 = AC2 – AB· AC· cos∠BAC + AB2–AB · AC·cos∠BAC
即
BC2 = AC2 + AB2 –2 AB · AC·cos∠BAC
证毕。
证法3：
过A作AD⊥BC于D，设∠BAC、∠B、∠C的对边分别为a、b、c
∵AD⊥BC，由勾股定理得
∴( b sinC )2= c2– ( a – b cosC )2= AD2
即b2sin2C= c2 – a2 –b2cos2C + 2ab cosC
即b2= c2 – a2 + 2ab cosC
∴c2 = a2 + b2 – 2ab cosC
同理可得
a2 = b2 + c2 – 2bc cos∠CAB
b2 = a2 + c2 – 2ac cosB
证毕。
证法4：
如图，设△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，以B为中心顺时针旋转α，设点A被旋转到点D，点C被旋转到点E，连接AD、AE、CE、DC，过C作CM⊥DE于M，过A作AN⊥DE于N，设AC、BD交点为Q
∵∠ACB=∠QEB
∴ E、Q、B、C四点共圆，即∠EBC=∠EQC=α
设四边形ADCE面积为S
那么2S= CM · ED+ AN · ED
2S=CQ·sinα·DE + QA·sinα·DE
2S= (CQ·sinα+ QA·sinα)·DE
即2S= AC·DE·sinα = b2sinα
又∵2S=a2sinα + ac·sin(∠ABC – α) + c2sinα – ac·sin (∠ABC + α)
∴b2sinα = a2sinα+ c2sinα + ac·sin(∠ABC – α) – ac·sin (∠ABC + α)
b2sinα = a2sinα+ c2sinα – 2ac·cos∠ABC ·sinα
b2 = a2 + c2– 2ac·cos∠ABC
证毕。
证法5： 
如图，△ABC中，以BC边为边长作正方形BCDE，
在CD边上，作△CDF≌△CBA，
在BE边上作△BEQ≌△CBA，
在DE上作△DEM≌△CBA
以ME、EQ为邻边作平行四边形MEQP，
连接PF、PA、PQ
∵BCDE是正方形，
△DEM≌△CBA，△BEQ≌△CBA
∴
ME=AB=QE
∴平行四边形MEQP是正方形
又∵△CDF≌△CBA，△BEQ≌△CBA
∴∠CDF=∠CBA=∠BEQ且DF=EQ
∴DF∥EQ
又∵MEQP是正方形
∴DF∥EQ∥MP，DF=EQ=MP
即，四边形MPFD是平行四边形
综上，同理可知，四边形ACFP与四边形MEQP是正方形；四边形MPFD与四边形PQBA是平行四边形。设△ABC三个角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，根据正方形BCDE面积，有等式
证毕。