电梯满载与循环小数

最近工作压力比较大,太累了,躲医院去休息了。那天走进电梯立刻茫然,满是人,令我诧异的居然没有超载,一共7层楼,都在哪层下去呢?我好奇地数数,一共15人,突然头脑一闪——抽屉原理——那么定然有一层至少下去3个人,相当于把楼层看成7个抽屉,一共15个人,看成15个苹果,根据抽屉原则15÷7=2……1,定然有1个抽屉里面至少放了3个苹果,即有一层至少下3人。当然,电梯上下跟实际情况有所不同,只是举个例子罢了。

这个原理可以应用到循环小数上,可以证明所有分数如果除不尽,那么一定是无限循环小数

证:设最简分数分子为n,分母为p,如果除不尽,那么n除以p的余数一定在集合 {1,2,…,p-1}中,将p所有可能的余数看成是p-1个抽屉,如果换成小数,设p除n的余数为x1,p除10x1的余数为x2,p除10x2 的余数为x3,…,根据抽屉原理可知,xp 一定与前面某个xk相等,从此进入循环节。

以上证明很有特点,循环小数居然可以跟电梯满载联系起来,那是不是所有无限循环小数都能化成分数呢?

看看这个循环小数:0.05882352941176470588235294117647…,(很简单哦^_^)这是一个16位循环的小数,循环节为0588235294117647,看着很大么,根据上面的证明,可知如果能化成最简分数,那么分母一定大于16,(由于它是在小数点后面第17位开始循环的,p>16),记得上学时曾经算过类似的问题
设x=0.05882352941176470588235294117647…
1016 x =588235294117647.0588235294117647…
∴ 1016 x-x= 588235294117647

x= 588235294117647/( 1016 -1)
看着分母是比16大多了,化简吧
看到分母有16个9,可知分母能被99整除,而分子各个位数和为72能被9整除,并且分子从个位开始交替相加减所得数为0,能被11整除,所以分子也能被99整除,即有公因数99,约分得
x=5941770647653/101010101010101
分母的样子能被101整除,分子用计算器试试吧,结果还真是公因数,那么
x=58829412353/1000100010001
分母的样子还能被10001整除,再试试吧,看看计算器给力不,分子分母同时除以10001,结果
x=5882353/100000001
果然10001也是公因数,接下来就比较烦了,通过本网站其他资源里面的算题程序 页面可以找到判断质数的程序,发现5882353是质数, 分子分母有公因数只能是5882353了,用计算计算器算算吧
x=1/17
还好,那的确是公因数,成功地化简成比较可爱的结果了。
通过这个例子能把所有无限循环小数化成分数,所以可知所有的无限循环小数都能化成分数。

看看更一般的例子吧!

比如无限纯循环小数a=y0.y1y2y3…yp-1 y1y2y3…yp-1 …,将其化成分数
设x=a
10p-1 x= y0y1y2y3…yp-1 . y1y2y3…yp-1
10p-1 x -x= y0y1y2y3…yp-1 -y0
∴x= (y0y1y2y3…yp-1 -y0)/(10p-1-1)

原来所有纯循环小数都能化成分母为999…9形式的数,这里可以演绎出很多逻辑关系

为了简便定义如下:

命题s为“最简分数a的分母只含有约数2或约数5”
命题r为“最简分数a的分母只含有2和5以外的约数”
命题v为“最简分数a化成小数为有限小数”
命题u为“最简分数a化成小数为无限混循环小数”

考虑到999…9不能被2整除,且不能被5整除
∴⌉v∧⌉u→r=1

只有以上论证还不够,再看看下面的例子
设有限小数a=y0.y1y2…yq
那么将a化成分数,则
a=y0+y1·10-1+y2·10-2+…+yq·10-q
可见分母中只含有因数2或者因数5
∴有限小数化成的最简分数分母中只含有因数2或因数5
反过来看
设最简分数a中分母只含有因数2或因数5,那么由于1/2=0.5,1/5=0.2,
∴a=n·0.5q·0.2p

最简真分数如果分母只含有因数2或因数5,那么该分数可以化成有限小数。

考虑到前面已设的命题
∴v⇔s

再看看无限混循环小数的情况
设无限混循环小数a=x0.x1x2…xpy1y2…yqy1y2
将其化成分数
10p+q·a - 10p·a =x0 x1x2…xpy1y2…yq . y1y2…yqy1y2… - x0x1x2…xp . y1y2…yqy1y2
10p(10q - 1)·a = x0x1x2…xpy1y2…yq - x0x1x2…xp
∴无限混循环小数a化成分数,分母必然含有因数2或因数5

证:假设a化成分数后分母不含有因数2且不含有因数5
则,10p 整除 x0x1x2…xpy1y2…yq - x0x1x2…xp
∴当p≤q时
yq = xp
yq-1 = xp-1
yq-2 = xp-2
……
yq-p+1 = x1

a =  x0 . yq-p+1yq-p+2…yqy1y2…yq-p+1yq-p+2
那么a是无限纯循环小数,与题设无限混循环小数a矛盾,
∴当p≤q时,假设不成立
当p>q时,
yq = xp
yq-1 = xp-1
……
y1 = xp-q+1
xp = xp-q
xp-1 = xp-q-1
……
xq+1 = x1
∴a = x0 . x1x2…xp-qxp-q+1…xpxp-q+1…xp
∴a是从小数点后第p-q+1位开始循环的无限混循环小数,循环节位数依然是q
同理若p-q>q,则a是从小数点后第p-2q+1位开始循环的无限循环小数,循环节位数依然是q
……
∵q>0,∴∃k>0,使p-kq+1≤q
同理根据p≤q的情况可知,总会出现k,使a成为无限纯循环小数,与题设无限混循环小数a矛盾,
∴当p>q时,假设亦不成立
∴无限混循环小数a化成分数,分母必然含有因数2或因数5

考虑到前面已设的命题
∴u→⌉r∧⌉s=1

下面来看看那几个命题能推出什么
由⌉v∧⌉u→r=1
得v∨u∨r=1
∵v⇔s
∴ s∨u∨r=1
∴⌉r∧⌉s→u=1
又∵u→⌉r∧⌉s=1
∴⌉r∧⌉s⇔u
r∨s⇔⌉u
(r∨s)∧⌉v⇔⌉u∧⌉v
(r∨v)∧⌉v⇔⌉u∧⌉v
(r∧⌉v)∨(v∧⌉v)⇔⌉u∧⌉v
r∧⌉v⇔⌉u∧⌉v
r∧⌉s⇔⌉u∧⌉v

在里面可以看到3个等价命题:

v⇔s最简分数a的分母只含有约数2或约数5等价于最简分数a化成小数为有限小数
⌉r∧⌉s⇔u 最简分数a的分母既含有约数2或约数5又含有2和5以外的其他约数等价于最简分数a化成小数为无限混循环小数
r∧⌉s⇔⌉u∧⌉v最简分数a的分母含有且仅含有2和5以外的约数等价于最简分数a化成小数为无限纯循环小数

这些等价命题应该能解决很多疑惑吧?但这里还有几个猜想,有兴趣的朋友可以帮着证明,欢迎在 联系我们  页面里留言……

  1. 如果最简分数n/p为无限纯循环小数,且分母p为质数,那么n/p的循环节位数整除(p-1)
  2. 如果最简分数n/p为无限纯循环小数,且分母p对应的欧拉函数值为φ(p),那么n/p的循环节位数整除φ(p)

以上两条是关于纯循环小数的猜想,下面是可以证明的性质:

  1. 如果最简分数a为无限纯循环小数,那么2a和5a也是无限纯循环小数
  2. 如果最简分数a为无限纯循环小数,那么2p·5q·a也是无限纯循环小数(其中p、q为正整数或0)

证Ⅰ:设无限纯循环小数a=x0 . x1x2…xpx1x2
由前面的等价命题知无限纯循环小数a的分母不含约数2且不含约数5
∴2a和5a仍然是最简分数,且分母中不含约数2也不含约数5
∴2a和5a也是无限纯循环小数,证毕。
证Ⅱ:用数学归纳法证明
1.当p、q∈{0,1}时,由Ⅰ知,2a和5a为无限纯循环小数,
同理10a也是无限纯循环小数
∴当p、q∈{0,1}时成立;
2.假设当p、q∈{x|0≤x≤k  (x,k为整数)}时成立,即2p·5q·a为无限纯循环小数
同理,由Ⅰ知,2p+1·5q·a为无限纯循环小数,2p·5q+1·a为无限纯循环小数
同理,2p+1·5q+1·a为无限循环小数
即,当p、q∈{x|0≤x≤k+1  (x,k为整数)}也成立;
综合1、2,证毕。

还有太多无限纯循环小数的性质,比较简单,就不逐个介绍了,最后看看无限混循环小数的性质吧!
最简分数n/p,如果分母p=2x·5y·b,其中b不含有约数2且不含有约数5,那么n/p是有限小数或者n/p是从小数点后面第max(x,y)+1位开始循环的混循环小数。(x、y不同时为0)

证:
当b=1时分母只有约数2或约数5,根据前面的等价命题知n/p是有限小数
当b≠1且x≤y时,n/p=(1/10y)·(n·2y-x/b)
由于b不含因数2且不含因数5,根据前面的等价命题及性质知n·2y-x/b为无限纯循环小数
∴n/p=(1/10y)·(n·2y-x/b)是从小数点后第y+1位开始循环的无限混循环小数;
当b≠1且x>y时,n/p=(1/10x)·(n·5x-y/b)
由于b不含因数2且不含因数5,根据前面的等价命题及性质知n·5x-y/b为无限纯循环小数
∴n/p=(1/10x)·(n·5x-y/b)是从小数点后第x+1位开始循环的无限混循环小数;
综合前面所有情况,证毕。

没想到电梯满载的问题能引出这么多有关循环小数的问题,离散数学对于证明一些复杂逻辑关系还是立竿见影的,医院没白住,想明白了很多事情^_^。相信每个喜欢追求数学真理的朋友一定能看到深层次其的奥秘!

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