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前两天网上找到一个0.999…=1 的视频， 阿喀琉斯悖论与0.999…=1 ，也有很多证明方法，例如
证法1：
……
∴
证法2：
设x=0.999…
10x=9.99…
那么10x – x = 9
解得x=1
∴0.999…=1
证法3：
设英雄阿喀琉斯的速度是乌龟的10倍，一天乌龟在阿喀琉斯前面900米处，同时向前运动，那么当阿喀琉斯前进900米时，乌龟前进90米，乌龟在阿喀琉斯前面90米；
当阿喀琉斯再前进90米时，乌龟又前进9米，乌龟在阿喀琉斯前面9米；
当阿喀琉斯再前进9米时，乌龟又前进0.9米，乌龟在阿喀琉斯前面0.9米；
当阿喀琉斯再前进0.9米时，乌龟又前进0.09米，乌龟在阿喀琉斯前面0.09米；
……
∴当阿喀琉斯共前进999.999…米时追上乌龟
第二种方法算追及距离，设阿喀琉斯速度为10x乌龟速度是x，他俩速度差为9x，
那么追及时间为
,追及距离为
∴当阿喀琉斯前进1000米时追上乌龟
∵1000米=1千米；999.999…米=0.999…千米
∴0.999…=1
证法4：
∵1÷7=0.142857142857…
又0.999…÷7=0.142857142857…
∴1÷7=0.999…÷7
即0.999…=1
证法5：
∵1÷11=0.090909…
10÷11=0.909090…
∴
证法6：
就不逐个分析了，特别推荐证法2，可以将所有无限循环小数都化成分数。有人不太明白，下面举个例子吧
证法4令人惊奇，杂乱的循环数会相等，今天就把142857循环化简下吧，咦？有人感觉不够复杂，那就再乱一点吧，比如
0.88142857142857… ，若将其化成分数，同样
设x=0.88142857142857…
那么108x=88142857.142857…
100x=88.142857142857…
我们有
(108-100)x=88142769
∴
自己验证一下对不对吧!
现在问题不是无限循环小数化成分数，而是分数能不能都化成无限循环小数——当然不是了——因为二分之一是0.5，不是无限循环小数，如果不算能除尽的那些呢，是不是都是循环的呢？
分母是3、7、9的都是循环小数，分母是19貌似不循环的，因为1÷19用计算器算得出来0.0526315789473684，用电脑的计算器算呢，能得出小数点后面32位数，结果是0.05263157894736842105263157894737，发现端倪没？那是循环节为052631578947368421的分数，18位循环，而分母是7的循环节是142857，6位循环，所以有以下猜想：
任何分数化成小数，或者是有限小数，或者从某一位开始的无限循环小数，其循环位数小于分母
要想证明可以从除法计算方法上入手，
证明：设分子为n，分母为p，(n<p)设集合G={1,2,3，…，p-1}
设p除n的余数为x1，那么有x1∈G，
设p除10x1的余数为x2，那么有x2∈G
……
由于Card(G)=p-1，由抽屉原则，将余数集合G看成p-1个抽屉，可知xp必与前面某个xi相等，其中i＜p
∴n/p在小数点后第p位出现循环，所以循环位数小于p
同理当n≥p时，都能化成整数与真分数的和，命题得证
明白了吧，若要计算器算得完全精确，分母是多少就算到第几位，位数不够可以先记住前面几位，再想办法看看后面没显示出的数字都是多少。
有兴趣可以访问 算题程序 链接来计算循环节
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