那些被质数整除的数

前些日子赶上个比较糟糕的劳动节,多地暴雨成灾,影响出行,高铁晚点,回家发现公交卡里居然只剩1角钱了,记得上月还剩30元呢,怎么现在就1角了,都花光心里还舒服,单单剩1角,内心惆怅啊,这边坐公交刷卡9角,怎么能只剩1角出来呢?想来想去,原来是用公交卡坐了一次地铁,那是按照车站计算费用的,有2元,3元,4元三个档次,用公交卡刷卡95折,那么我坐那次地铁花了多少钱呢?

   这个问题让我想起5年级约数倍数的知识,被2整除的数尾数是0、2、4、6、8,被5整除的数尾数是0或5,再特殊些,被3整除数的特点是各个数位上的和能被3整除…… 看看我这问题,因为9=3×3,所以被9除也类似,原来剩下30元,300角,各个数位和为3,被9除余数应该是3,而我最后剩下1角,说明有一次多花了2角,即被9除余数是2,这样只有4元符合题意,40×0.95=38,被9除余2,坐一次地铁花3.8元,比公交贵4倍多,还是很贵咯。

   问题弄明白了,那些整除特点是怎么来的呢?我曾经摸索被7整除、11整除或者13整除的特点,把各数位相加不再成立,大家都有什么想法呢?多年以后,接触到同余的知识才点醒我,3是比较特殊的数,3除10k余数都是1,即10k≡1(mod 3)。 因为各位数余数都是1,所以只把各位数相加得到的数与原数同余模3,即,∑10k-1·ak≡∑ak(mod 3)。

   而别的数有什么规律呢?同理从数位入手,如下表:

711131719232931
1
10
102
103
104
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
1015

根据余数的特点可发现一定的规律。例如,被7除所得的余数,如果各位都是1,那么低位余数总是高位的3倍,而且过两位之后余数互为相反数,即对于满足题意的整数k,3×10k-1≡10k(mod 7),且10k-3≡-10k(mod 7),如果将最高位去掉所得的数仍与原数同余,那么需要把最高位乘以3再加上次高位,组成新数,同样也可以将某三位向右移动3位减去剩下的部分,得出的数将于原数同余,简化一下可知,被7整除的数有如下特点:将个、十、百位组成的三位数减去剩余部分能被7整除,那么该数就是7的倍数;或者将最高位乘以3加上次高位与剩余的部分组成的新数能被7整除,那么原数就是7的倍数。

   根据余数的特点会发现被13整除的数也类似,只是变成减法,有得负数的情况,需要用13借位,比较麻烦,不如直接按照3位数来算,即,被13整除数的特点:将个、十、百位组成的三位数减去剩余部分能被13整除,那么该数就是13的倍数。

   被11除的余数更有规律,正负1交替出现的,那么同理可得,被11整除的数的特点:从个位起奇数位取正号,偶数位取负号,其和能被11整除,那么该数是11的倍数。

   对于17的余数就很乱了,但隔位关系很明显,有-2×10k-2≡10k(mod 17),遇到减法很麻烦,可以两两分组乘二再减,还要借位,这里就不讨论了。
不过19的余数还是很有规律的,低位的余数是高位的2倍,即2×10k≡10k-1(mod 19),那么,被19整除的数的特点:从个位起该数位上的数乘2加上剩下的位数,最终得到的数能被19整除,那么原数就是19的倍数。

   其他都类似,有复杂有简单,就不一 一列举了,最后讨论下被31整除的数的特点吧,其他的请读者们自己发挥啦。被31整除的数的特点,最高位乘以-3,加上次高位,如果小于0,加31借位,最后所得的数能被31整除,原数就是31的倍数。

   这个问题是曾经的疑惑,今天终于把它解决,内心是无比的喜悦,无比的欢乐,回顾曾经的故事,原来今天的我们比过去更加睿智……

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