正十七边形尺规作图详解

今天跟大家谈谈高斯祖爷的经典之作，关于正十七边形那些事儿，高斯的墓志铭就刻着它，但这些内容的不少文章简略得太多以至于无法理解，我来详细说说吧，主要是计算中心角的余弦值。

设正十七边形中心角是 θ ，17θ=2π ，那么有


∵




∴



根据积化和差公式，有



∴


同理，可得


即

设


有

∵


设


有


又∵



∴

∴ x₁、 x₂ 是下面二次方程的两个根


同理

∴

∵




∴

∵



∴



又∵

∴ cosθ 、cos4θ 是下面二次方程的两个根，且 cosθ> cos4θ

∴

这样就求出余弦值了，由于都是二次根式的有限表示，所以可以尺规作出。