炒菜做饭切萝卜，很常见的事情，有人想法比较多，萝卜斜着切截面是什么形状呢，当然是椭圆了，还用问吗？反正看着不是圆，那就应该是椭圆了，那是没遇到较真的，为啥是椭圆呢？椭圆的定义是到两定点距离之和等于定长的点的轨迹，有点像说外国话，熟悉了说起来蛮过瘾的……

其实那还真不是椭圆，是由于萝卜不太规则吗，当然不是了，如果把萝卜看成是圆锥也不都是椭圆，主要看你斜着切的角度了，如果你用刀的角度平行且仅平行于圆锥的一条母线，切出来的就是抛物线了，说白了就是竖着切，如果你再往外斜点，就成双曲线了，当然没有那么切萝卜的，那是片萝卜片了……

说的挺像真的，但数学不是用来猜的，严密的结论需要证明，为啥斜着切出来就是椭圆呢？想把它证明出来字母挺乱套的，还是直接上动画比较方便，严密的证明过程可以自己完成了，如下动画：

一个圆锥被斜着的平面所截，如果作两个与平面和圆锥面都相切的球，看着就很明显了。能做出来吗？当然了，由于对称，两个球心正好都落在圆锥的中心轴上，就像三角形内切圆一样，平面与两球的切点为F₁、F₂，图中的两个白圆就是球与圆锥的交线，圆锥的所有母线都是两个球的外公切线，看动画，由切线长定理知，绿色的两条线段相等，橙色的两条线段也相等，绿橙线段之和就是外公切线，是母线的一部分，都相等，也就是椭圆定义里面的定长，F₁与F₂就是椭圆的焦点。
如果没有flash插件，看不到动画的只能用下面的图片了：

再来看看双曲线，其定义是到两定点距离之差等于定长的点的集合，由于有两条渐近线，所以能看的地方很短暂，要看仔细了，如下动画：

圆锥上面又延伸一个圆锥，母线都是相同的，被一平面所截，同样两个球与圆锥面和平面都相切，F₁、F₂是切点，也是双曲线的焦点，取F₁为焦点时，由切线长定理可以看出两条紫色线段长度相等，黑色线段减去紫色线段是两球的内公切线，同理取F₂为焦点时，黑色段减去黄色线段是两球的内公切线，是母线的一部分，都相等，就是双曲线定义的定长。
如果没有flash插件可以看下面图片：

如果是抛物线呢？只能用一个定义了，到一定点距离与到一定直线距离相等的点的集合，如下图：

什么情况下能切出抛物线呢，就是这样，平面仅于圆锥的一条母线平行，同样在圆锥内部作与平面和圆锥都相切的球，过球与圆锥的交线再作另外一平面，PH是与该平面垂直的线段，H为垂足，P是截面曲线上任意一点，F是平面与球的切点，PB垂直交线于B。根据上面椭圆与双曲线的形成过程可知，PF=PA，也可证明PF/PB= PA/PB=csc∠PAH/csc ∠PBH＝1，篇幅原因具体证明过程就不说了，有兴趣的自己完成吧，通过抛物线的例子可以推出所有圆锥曲线的另一个定义，其离心率e=csc ∠PAH/csc ∠PBH，准线就是两个平面的交线。