不用圆的方程不用积分不用三角函数计算阴影面积

大家常常谈到勾股定理,什么勾三股四弦五的,常识丰富的还知道值六,就是说直角边为3,4的直角三角形,斜边是5,面积是6。

但网络那边的你,知道底角是多少么?这个问题很少有人知道了,有的些老师告诉你那是37°和53°,更精确一些是36.87°和53.13°,有没有再精确的数了?搜索引擎上找很费劲的,那就不麻烦网络了,自己亲自算一下吧!

∵arctan(4/3)
=arctan[(1+1/7)/(1-1/7)]
=arctan{tan[π/4+arctan(1/7)]}
=π/4 + arctan(1/7)
我们知道
arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+…+(-1)k·x2k+1/(2k+1)+…
如果该步骤不明白可以查看课外定理页面的"高等数学"内容:课外定理

arctan(4/3)=π/4 + 1/7-1/73/3+…+(-1)k/72k+1/(2k+1)+…
由于1/7<1,等式成立,根据级数特点,可知arctan x中,x越小越精确,所以选择了1/7,也可以根据arctan(4/3)=π/2 - arctan(3/4)来计算,就不浪费篇幅了……

在这里用程序代码算一下前6项精确到小数点后11位(精度够用了),别忘了允许ActiveX控件与JavaScript代码啊

有些人注意到了,这也不是53°啊,那是因为单位不同,级数都是以弧度为单位的,换算成度数只要乘以180/π就行了,将上面的结果换算一下就是:啦!

对于勾三股四弦五的三角形还是很常见的,小学也经常接触,疑惑,小学能用到级数么?不信看看网上朋友圈里转发的问题

不要用圆的方程,反三角函数以及微积分等高等方法做

我就是不喜欢听它的话,就用圆的方程三角函数等方法做!(为啥这么固执,得到答案就知道其原因了)

  1. 圆方程方法:
    以左下角为坐标原点,矩形位置为第一象限建立直角坐标,可知左面的圆及对角线的方程为:
    (x-5)2+(y-5)2=25
    y=0.5x
    代入化简,得 x2-12x+20=0 由于中心坐标为(10,5)
    ∴x1为12-10=2
    ∴∠DO1E=arccos[(5-0.5×2)/5]=arccos0.8
    ∴曲面图形ODE面积为
    2×(0.5×2)÷2+[(0.5×2)+5]×(5-2)÷2-0.5·arccos0.8·52
    =10-12.5arccos0.8
    而阴影面积就是半个矩形面积减去一个圆面积再减去刚刚算的ODE面积,即
    0.5×20×10-π·52-(10-12.5arccos0.8)
    =90-25π+12.5arccos0.8

  2. 反三角函数方法:
    如图可知∠GO2H=2∠BMH
    ∠GO2H=arctan[2×0.5/(1-0.52)]=arctan(4/3)
    ∴阴影BHG面积为
    10×5÷2-5·sin[arctan(4/3)]×5÷2-arctan(4/3)·52÷2
    =25-10-12.5arctan(4/3)
    =15-12.5arctan(4/3)
    那么所求阴影面积为
    (20×10÷4-π·52÷2)×1.5+15-12.5arctan(4/3)
    =90-18.75π-12.5arctan(4/3)

  3. 微积分方法:
    根据方法1知圆的方程为
    (x-5)2+(y-5)2=25
    (y-5)2=25-(x-5)2
    即点D的坐标为(2,1)
    根据题意,曲面ODE面积为

    设x=5sinu+5,那么
    原式


    ∴阴影部分面积为
    20×10÷2-π·52-(10-12.5arcsin0.6)
    =90-25π+12.5arcsin0.6

乍一看三种算法结果都不同,其实不然,细心的朋友会发现,arcsin0.6=arccos0.8,这样第一种算法与第三种算法结果一样了,那么算法2的arctan(4/3)是怎么回事呢?可以稍微化简一下统一结果,如下

90-18.75π-12.5arctan(4/3)
=90-18.75π-12.5[π/2-arctan(3/4)]
=90-25π+12.5arctan0.75

这样就统一结果了,arctan0.75=arcsin0.6=arccos0.8,三个结果是一样的,正弦余弦正切都用上了,还挺全的,为何算题这么固执非用圆的方程、反三角函数和积分的方法呢,因为小学数学根本解决不了,只能如此了。别说我算错了,3种算法得到同样答案,不可能都错到一块儿吧。

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